Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=

1

2

n²+

1

2

n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前2011项和T₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1  ，n≥2

可求数列的通项，要注意验证是否可合写成一个式子；
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由裂项相消法可求和．

解答：解：（Ⅰ） n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

1

2

n-

1

2

(n-1)2-

1

2

(n-1)=n，
经检验当n=1时a₁=S₁=1也满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为：a_n=n． …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T₂₀₁₁=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2011

-

1

2012

）
=1-

1

2012

=

2011

2012

，
数列{b_n}的前2011项和T₂₀₁₁=

2011

2012

…（12分）

点评：本题为数列的通项和求和的综合应用，利用式子an=

S1，n=1 Sn-Sn-1  ，n≥2

和裂项相消法是解决问题的关键，属中档题．