Question

设函数f（x）=

ax

1+ax

（a＞0，且a≠1），[m]表示不超过实数m的最大整数，则实数[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]的值域是
（　　）

• A、[-1，1]
• B、[0，1]
• C、{-1，0}
• D、{-1，1}

Answer 1

分析：化简函数f（x）=

ax

1+ax

，对x的正、负、和0分类讨论，求出[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]的值，从而得到所求．

解答：解：f（x）=

ax

1+ax

=1-

1

1+ax

∴f（x）-

1

2

=

1

2

-

1

1+ax

若a＞1
当x＞0 则 0≤f（x）-

1

2

＜

1

2

    从而[f（x）-

1

2

]=0
当x＜0 则-

1

2

＜f（x）-

1

2

＜0    从而[f（x）-

1

2

]=-1
当x=0    f（x）-

1

2

=0   从而[f（x）-

1

2

]=0
所以：当x=0    y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]=0
当x不等于0    y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]=0-1=-1
同理若0＜a＜1时，当x=0    y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]=0
当x不等于0    y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]=0-1=-1
所以，y的值域：{0，-1}
故选C．

点评：本题考查函数的值域，函数的单调性及其特点，考查学生分类讨论的思想，是中档题．