Question

如下图,A、B是两个定点,|AB|=4,动点M到A点的距离是6,线段MB的垂直平分线l交MA于点P,直线l′垂直于AB,且B到l′的距离是.若以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.

(1)求证:点P到点B的距离与到直线l′的距离之比为定值.

(2)若P点到A、B两点的距离之积为m,当m取最大值时,求P点的坐标.

(3)设直线y=kx+m(k≠0)与点P所在曲线相交于不同两点C、D,定点G(0,－),则使|GC|=|GD|的正数m是否存在?若存在,则求出其取值范围;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)证明:A(－2,0),B(2,0), l′:x=.

由题意,|PA|+|PM|=|PA|+|PB|=6且|AB|=4.

∴点P在椭圆=1上.

∴l′:x=为椭圆的右准线,且右焦点为B(2,0),若P到l′的距离为d,则=e=为定值.

(2)解:m=|PA|·|PB|=()²=9.

当|PA|=|PB|,即P(0,－)或(0,)时m取最大值.

(3)解:设存在直线y=kx+m(k≠0)与P点所在曲线交于C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)两点,CD中点为N(x₀,y₀),

则x₀=,|GC|=|GD|,

即GN为CD的中垂线,k_CD·k_GN=k·k_GN=－1.

由

得(5+9k²)x²+18mkx+9m²－45=0.

x₁+x₂=－.

由Δ＞0得9k²+5＞m².                         ①

又x₀==－,

y₀=kx₀+m=,

k_GN=－=－.

∴5+5m+9k²=9m.                       ②

由①②得 (9k²+5)=4m＞m².

∴0＜m＜.

但由②9k²=4m－5＞0得m＞,二者矛盾,故这样的正数m不存在.