Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

cosC

cosB

=

3a-c

b

．求：
（1）sinB；
（2）若b=4

2

，且a=c，求边c长．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理将题中等式化简，可得sin（B+C）=3sinAcosC，结合sin（B+C）=sinA＞0，解出cosC=

1

3

，最后用同角三角函数的基本关系即可算出的sinB值；
（2）余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，代入题中数据可得关于c的方程，解之即可得到边c长．

解答：解：（1）∵△ABC中，

cosC

cosB

=

3a-c

b

，
∴由正弦定理，得

cosC

cosB

=

3sinA-sinC

sinB

，
即sinBcosC=3sinAcosC-cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosC，即sin（B+C）=3sinAcosC，
∵△ABC中，B+C=π-A，得sin（B+C）=sinA
∴等式化简为sinA（1-3cosC）=0，结合sinA＞0，得cosC=

1

3

因此，sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

（2）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
32=a²+c²-2ac×

1

3

=

4

3

c²，解之得c=2

6

即边c长为2

6

．

点评：本题给出三角形的边角关系式，求sinB值并由此求边c之长．着重考查了同角三角函数的基本关系、正余弦定理等知识，属于中档题．