Question

下列每组中各个集合的意义是否相同，为什么？

（1）{1，5}，{（1，5）}，{5，1}，{（5，1）}；

（2）{x|x=0}，{(x,y)|x=0,y∈R}；

（3）{y|y=x²},{(x,y)|y=x²}；

（4）{x|x²-ax-1=0}，{a|方程x²-ax-1=0有实根}.

Answer 1

思路分析：（1）根据集合中元素的无序性知，{1，5}和{5，1}是同一集合，而{（1，5）}与{（5，1）}是不同集合；（2）{x|x=0}是数集，{(x,y）|x=0，y∈R}是点集；（3）{y|y=x²}表示y的取值范围，而{(x,y）|y=x²}是图象y=x²的点组成的集合；（4）{x|x²-ax-1=0}是指方程x²-ax-1=0的解集，而{a|方程x²-ax-1=0有实根}是指方程x²-ax-1=0有实根的a的取值范围.

解：（1）{1，5}是由两个元素1，5组成的集合，根据集合中元素的无序性，它与{5，1}是同一集合；{（1，5）}是一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，5）和（5，1）表示两个不同的点，所以{（1，5）}与{（5，1）}是两个不同的集合.因此共表示三个不同集合.

    （2）{x|x=0}中的元素是一个数，且该数为0；{(x,y）|x=0,y∈R}中的元素是点，它表示直角坐标平面内y轴上的所有点，这两个集合的元素根本不相同.因此是两个不同的集合.

    （3）{y|y=x²}是函数y=x²中的y的取值范围，即为{y|y≥0}，而{(x,y)|y=x²}中元素是平面直角坐标系中的点，表示平面直角坐标系中的一条抛物线y=x².因此是两个不同的集合.

    （4）集合{x|x²-ax-1=0}中的元素x是方程x²-ax-1=0的解；集合{a|方程x²-ax-1=0有实根}中的元素a是使方程x²-ax-1=0有实根的字母系数的取值范围，这两个集合的含义也是不同的.