Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a_n＞0，2Sn= 

a

2 n

+n(n∈N*)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜测数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1再用数学归纳法进行证明；

解答：解：（1）分别令n=1，2，3，得

2a1=a12+1 2(a1+a2)  =a22+2  2(a1+a2+ a3) =a32+3

∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的结论：猜想a_n=n
1）当n=1时，a₁=1成立；
2）假设当n=k时，a_k=k．
那么当n=k+1时，
∵2S_k+1=a_k+1²+k+1，∴2（a_k+1+S_k）=a_k+1²+k+1，
∴a_k+1²=2a_k+1+2S_k-（k+1）=2a_k+1+（k²+k）-（k+1）=2a_k+1+（k²-1）⇒[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0．
∵a_k+1+（k-1）＞0，∴a_k+1=k+1，这就是说，当n=k+1时也成立，
故对于n∈N*，均有a_n=n．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要注意各种不同解法的应用，多尝试一题多解能够有效地提高解题能力．属中档题．