Question

已知函数f(x)=

1

lg(2x+ 1 2x +m)

的定义域是R，则实数m的取值范围是（　　）

A．（-∞，-2）

B．（-∞，-1）

C．（-1，+∞）

D．（-2，+∞）

Answer 1

分析：由对数函数的定义可知真数大于0，根据分母不为0，得到2x+

1

2x

+m＞0且2x+

1

2x

+m≠1恒成立，利用基本不等式及二次方程实根的分布求出m的范围．

解答：解：要使函数有意义，需要满足2x+

1

2x

+m＞0且2x+

1

2x

+m≠1恒成立，
∵2^x＞0，∴2^x+

1

2x

≥2，当且仅当2^x=

1

2x

，即x=0时取等号，
所以令2x+

1

2x

+m≥2+m＞0，解得m＞-2，
又2x+

1

2x

+m≠1，令2^x=t＞0，化为t+

1

t

+m≠1，
∵t＞0，∴当t²+（m-1）t+1=0没有解或解为负数时，t²+（m-1）t+1≠0，
若△=（m-1）²-4＜0，解得：-1＜m＜3，方程无解，满足题意；
若t²+（m-1）t+1=0没有正数解，根据两根之积为1＞0，得到两根为同号，
故要保证两根为负数，需

△=(m-1)2-4≥0 1-m＜0

，解得m≥3，
综上，实数m的范围是m＞-1，
则实数m的取值范围是（-1，+∞）．
故选C．

点评：此题考查了对数函数的定义域，求对数函数定义域时注意真数大于0且分母不为0．解答此题时运用了基本不等式，韦达定理，以及换元的思想，要求学生掌握知识要全面，考虑问题要周全．