Question

设函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），已知曲线y=f（x）在点M（-1，f（-1））处的切线方程是y=4x+3．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则和几何意义可得

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-1

，解出即可；
（2）利用导数运算法则得出f′（x），在区间[-2，2]上分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间、极值与最值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b，
∵曲线y=f（x）在点M（-1，f（-1））处的切线方程是y=4x+3．
∴

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-1

，
解得

a=-1 b=-1

．
（2）由（1）可知：f（x）=x³-x²-x，
∴f'（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
令f'（x）＞0，得x＜-

1

3

或x＞1；
令f'（x）＜0，得-

1

3

＜x＜1
所以f（x）的递增区间为[-2，-

1

3

)，（1，2]，递减区间为(-

1

3

，1)．
而f(-

1

3

)=

5

27

，f（2）=2，
所以f（x）的最大值为2．

点评：熟练掌握导数的运算法则、几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．