Question

若a,b,c＞0,求证:ABC≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

Answer 1

证明:∵(a+b-c)+(b+c-a)=2b＞0,?

(b+c-a)+(c+a-b)=2c＞0,?

(c+a-b)+(a+b-c)=2a＞0,?

∴a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正.??

(1)当a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立.?

(2)a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时,则?

(a+b-c)(b+c-a)≤

=b.

同理,)≤a,≤c,?

三式相乘得

ABC≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

点评:均值不等式成为启动证题过程的理由(充分条件),在证题过程中,对三个小不等式实行了叠乘的运算,还有为应用均值不等式而进行的讨论都是值得同学们注意的.