题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ sin2x- $数学公式$ （cos²x-sin²x）-1，x∈R，将函数f（x）的图象向左平移 $数学公式$ 个单位后得函数g（x）的图象，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设锐角ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．若g（B）=0且 $数学公式$ =（cosA，cosB）， $数学公式$ =（1，sinA-cosAtanB），求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（1）由题意，得f（x）= $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ cos2x-1=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1
因此，f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π
令 $\text{[math]}$ +2kπ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z，得 $\text{[math]}$ +2kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[ $\text{[math]}$ +2kπ， $\text{[math]}$ +2kπ]，k∈Z
（2）∵将函数f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后得函数g（x）的图象，
∴g（x）=f（x+ $\text{[math]}$ ）=sin[2（x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-1
由此可得g（B）=sin（2B+ $\text{[math]}$ ）-1=0，结合B∈（0， $\text{[math]}$ ）可解得B= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =（cosA，cosB）=（cosA， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（1，sinA-cosAtanB）=（1，sinA- $\text{[math]}$ cosA），
因此， $\text{[math]}$ =cosA+ $\text{[math]}$ （sinA- $\text{[math]}$ cosA）= $\text{[math]}$ sinA+ $\text{[math]}$ cosA=sin（A+ $\text{[math]}$ ），
∵A∈（0， $\text{[math]}$ ），C= $\text{[math]}$ -A∈（0， $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ ＜A＜ $\text{[math]}$ ，得A+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
结合正弦函数的图象与性质，可得sin（A+ $\text{[math]}$ ）∈（ $\text{[math]}$ ，1）
即 $\text{[math]}$ 的取值范围是（ $\text{[math]}$ ，1）．
分析：（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1，再结合正弦函数单调区间的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）根据函数图象平移公式，可得g（x）=f（x+ $\text{[math]}$ ）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-1，由g（B）=0可解得B= $\text{[math]}$ ，从而得到向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 关于A的坐标形式，得到 $\text{[math]}$ =sin（A+ $\text{[math]}$ ），最后结合三角形为锐角三角形和正弦函数的图象与性质，即可算出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和周期，并求在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．