题目内容

已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an.

如果在一种算法中,计算 x0k(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算Pn(x0)的值共需要________________次运算.

下面给出一种减少运算次数的算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,…,n-1).利用该算法,计算P3(x0)的值共需要6次运算,计算Pn(x0)的值共需要______________次运算.

解:计算P3(x0)时为P3(x0)=a0x03+a1x02+a2x0+a3,其中x0k需k-1次乘法,

    ∴an-k·x0k共需k次乘法.

    上式中运算为3+2+1=6次,

    另外还有3次加法,共9次.

    由此产生规律:

    当计算Pn(x0)时有

    Pn(x0)=a0x0n+a1x0n-1+…+an.

    计算次数为+n=+n=n(n+3)次.

    第2个空中需注意

    P3(x)=x·P2(x0)+a3,

    P2(x)=x·P1(x0)+a2,

    P1(x)=x·P0(x0)+a1.

    显然P0(x0)为常数不需计算.

    ∴计算为每次一个乘运算、一个加运算共3×2=6次.

    由此运用不完全归纳法知

    Pn(x0)=x·Pn-1(x0)+an,

    Pn-1(x0)=x·Pn-2(x0)+an-1,

    …,

    P1(x0)=x·P0(x0)+a1.

    其中共有n×2=2n个运算过程.

    答案:n(n+3)  2n

练习册系列答案
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k
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n(n+3)
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    如果在一种运算中,计算x0k(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算Pn(x0)的值共需___________次运算.

    下面给出一种减法运算:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,…,n-1).利用该算法,计算P3(x0)的值共需6次运算,计算Pn(x0)的值共需__________-次运算.

已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,如果在一种算法中，计算x0k（k=2，3，4，…，n）的值需要k-1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要___________次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k=0， 1，2，…，n-1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要______________次运算.

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