Question

设a，b∈R⁺，a+b=1．
（1）证明：ab+

1

ab

≥4+

1

4

=4

1

4

；
（2）探索、猜想，将结果填在括号内；
a²b²+

1

a2b2

≥（

 

）；
a³b³+

1

a3b3

≥（

 

）；
（3）由（1）（2）你能归纳出更一般的结论吗？请证明你得出的结论．

Answer 1

分析：（1）先利用基本不等式求出ab的范围，通过将ab换元，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，证出不等式．
（2）由（1）的证明过程归纳出两个不等式
（3）有（1）（2）三个不等式归纳猜测出一般的不等式，类比（1）的证明，将aⁿbⁿ换元，通过导数求出函数的最小值，证出不等式．

解答：（1）证明：∵a+b=1
∴ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

令ab=t则t∈（0，

1

4

]
∴ab+

1

ab

=t+

1

t

(t∈(0，

1

4

])
令y=t+

1

t

(t∈(0，

1

4

])
y′=1-

1

t2

＜0
∴y=t+

1

t

单调递减
∴当t=

1

4

时，有最小值4+

1

4

=4

1

4

故ab+

1

ab

≥4

1

4

（2）a2b2≤

1

16

，a3b3≤

1

64

，
由（1）归纳猜测a2b2+

1

a2b2

 ≥16

1

16

，a，3b3+

1

a3b3

≥64

1

64

（3）anbn+

1

anbn

≥4n

1

4n

证明：令aⁿbⁿ=m由（1）知，m∈(0，(

1

4

)n)
令y=anbn+

1

anbn

=m+

1

m

m∈(0，(

1

4

)n)
由（1）知当m=(

1

4

)n时，函数有最小值
∴anbn+

1

anbn

≥4n

1

4n

点评：本题考查换元的方法、导数研究函数的最值、通过特殊归纳出一般结论、类比证明方法．