Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为

2

，D为A₁C₁中点，则直线AA₁与面AB₁D所成角的正弦值为（　　）

• A．

  6

  3

• B．

  3

  3

• C．

  6

  6

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：利用等体积法，求出A₁到面AB₁D的距离，再利用正弦函数可得结论．

解答：解：设A₁到面AB₁D的距离为h，则
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为

2

，D为A₁C₁中点，
∴△AB₁D中，AB₁=

6

，AD=

3

，B₁D=

3

∴AB₁边上的高为

3-( 6 2 )2

=

6

2

∴S△AB1D=

1

2

×

6

×

6

2

=

3

2

∵S△A1B1D=

1

2

×1×

3

=

3

2

∴由VA-A1B1D=VA1-AB1D可得

1

3

×

3

2

×

2

=

1

3

×

3

2

×h
∴h=

6

3

∴直线AA₁与面AB₁D所成角的正弦值为

6 3

2

=

3

3

故选B．

点评：本题考查线面角，考查学生的计算能力，正确求出A₁到面AB₁D的距离是关键．