题目内容
图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有两条的为第二层，以此类推，竖直线段有n条的为第n层，每一层的竖直通道从左到右分别称为第1通道、第2通道，…，现在有一个小球从入口向下（只能向下，不能向上）运动，小球在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．小球到达第n层第m通道的不同路径数称为an，m，如小球到达第二层第1通道和第二层第2通道的路径都只有一种情况，因此，a2，1=1，a2，2=1．求：（1）a3，1，a3，2，a3，3；
（2）a5，2，以及小球到达第5层第2通道的概率；
（3）猜想an，2（n≥2），并证明；
（4）猜想an，3（n≥3）（不用证明）．
分析：（1）小球到达第三层第1通道和第三层第2通道的路径、第三层第3通道的路径的情况一一算出即可；
（2）小球到达第五层第2通道的情况数是C41；且每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，根据独立重复试验的概率公式得到结果，
（3）根据小球到达第n层第2通道的情况数是Cn-11，推出具有一般性的结论．
（4）根据题意知小球到达第n层第3通道的情况数是Cn-12，推出具有一般性的结论．
（2）小球到达第五层第2通道的情况数是C41；且每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，根据独立重复试验的概率公式得到结果，
（3）根据小球到达第n层第2通道的情况数是Cn-11，推出具有一般性的结论．
（4）根据题意知小球到达第n层第3通道的情况数是Cn-12，推出具有一般性的结论．
解答：解：（1）由题意知，小球到达第三层第1通道的情况数只有一种，
∴a3，1=1，
小球到达第三层第2通道的情况数只有二种
∴a3，2=2，
小球到达第三层第3通道的情况数只有一种
∴a3，3=1；
（2）a5，2=4，且每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，
根据独立重复试验的概率公式得
小球到达第5层第2通道的概率为：
4×（
）4=
，
（3）猜想an，2=Cn-11=n-1（n≥2），
∵本图中通道的不同路径数正是杨辉三角数，
根据杨辉三角数可知：
∴第n行的第2个二项式系数为Cn-11=n-1；
（4）由（3）可知，根据杨辉三角数，
小球到达第n层第3通道的情况数为：Cn-12
所以猜想小球到达第n层第3通道的情况数：an，3=Cn-12（n≥3）．
∴a3，1=1，
小球到达第三层第2通道的情况数只有二种
∴a3，2=2，
小球到达第三层第3通道的情况数只有一种
∴a3，3=1；
（2）a5，2=4，且每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，
根据独立重复试验的概率公式得
小球到达第5层第2通道的概率为：4×（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（3）猜想an，2=Cn-11=n-1（n≥2），
∵本图中通道的不同路径数正是杨辉三角数，
根据杨辉三角数可知：
∴第n行的第2个二项式系数为Cn-11=n-1；
（4）由（3）可知，根据杨辉三角数，
小球到达第n层第3通道的情况数为：Cn-12
所以猜想小球到达第n层第3通道的情况数：an，3=Cn-12（n≥3）．
点评：本题考查杨辉三角数，考查独立重复试验的概率公式，考查归纳推理，本题的题意比较好，容易引起学生的兴趣．
练习册系列答案
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如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依此类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P（n，m）．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）
如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依此类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P（n，m）．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）
层第
个竖直通道（从左至右）的概率为
，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第
及
的值，并猜想
，其中
，试求
条的为第
通道的不同路径数称为
，如小球到达第二层第1通道和第二层第2通道的路径都只有一种情况，因此，
，
。
，
，
；
，以及小球到达第5层第2通道的概率；
，并证明；
（不用证明）。