Question

(本小题满分15分)

如图已知在三棱柱ABC——A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点．

（1）求证：面PCC₁⊥面MNQ；

（2）求证：PC₁∥面MNQ；

（3）若求三棱锥

的体积.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

 (本小题满分15分)

如图已知在三棱柱ABC——A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点．

（1）求证：面PCC₁⊥面MNQ；

（2）求证：PC₁∥面MNQ；

（3）若求三棱锥

的体积.

证明：（1）∵AC=BC， P是AB的中点，∴AB⊥PC，

∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，，∴CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC内

∴CC₁⊥AB， ∵CC₁∩PC=C   ∴AB⊥面PCC₁；

又∵M、N分别是AA₁、BB₁的中点，四边形AA₁B₁B是平行四边形，MN∥AB，

∴MN⊥面PCC₁    ∵MN在平面MNQ内，∴面PCC₁⊥面MNQ；……… 5分

（2）连PB₁与MN相交于K，连KQ，∵MN∥PB，N为BB₁的中点，∴K为PB₁的中点．

又∵Q是C₁B₁的中点∴PC₁∥KQ ，而KQ平面MNQ，PC₁平面MNQ

∴PC₁∥面MNQ．                …………………………10分 

（3）为的中点，到平面的距离等于的一半，故，

所以.……………15分