Question

已知函数f（x）=ax²+2bx+c（a≠0），且f（1）=b．
（1）求证：存在x₁，x₂∈R，使得f（x₁）=f（x₂）=0；
（2）对（1）中的x₁，x₂，若（a-b）（a-c）＞0．
（I）求

c

a

的取值范围；
（II）求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲证结论成立，即证原函数有两个零点，可根据一元二次方程的根的判别式大于0得到；
（2）条件中f（1）=b可得b=-a-c，代入（a-b）（a-c）＞0，转化成关于

c

a

的不等式解之即可；
欲求|x₁-x₂|的取值范围，利用根与系数的关系，可将其转化为

c

a

的函数，之后求此函数的值域．

解答：解：由于f（1）=a+2b+c=b，所以a+b+c=0，b=-a-c．
（1）因为△=（2b）²-4ac=4（b²-ac）=4[（-a-c）²-ac]
=4(c2+ca+a2)=4[(c+

1

2

a)2+

3

4

a2]＞0
所以二次函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
故存在x₁，x₂∈R，使得f（x₁）=f（x₂）=0．
（2）（I）由于（a-b）（a-c）＞0，且b=-a-c，
得（2a+c）（a-c）＞0，两边同除以a²，
有(

c

a

+2)(

c

a

-1)＜0，所以-2＜

c

a

＜1．
（II）由（I）知，x1+x2=-

2b

a

，x1x2=

c

a

由于|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- 2b a )2-4 c a

=2

b2-ac a2

=2

a2+c2+ac a2

=2

( c a )2+( c a )+1

=2

( c a + 1 2 )2+ 3 4

因为-2＜

c

a

＜1，则-

3

2

＜

c

a

+

1

2

＜

3

2

，
所以2

3 4

≤|x₁-x₂|＜2

(± 3 2 )2+ 3 4

即

3

≤|x1-x2|＜2

3

．

点评：二次函数是最基本的初等函数，我们可以以其为载体研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，也可建立起函数、方程、不等式三个二次之间的联系．