Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+2)x2+bx+1．
（1）当b=2a时，求函数f（x）的极值？
（2）已知b＞0，且函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，试用b表示出a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把b=2a代入到f（x）中，求出f'（x）=0时x的值，利用a的范围讨论函数的增减性得到函数的极值；
（2）因为函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，所以f'（x）=x²-（a+2）x+b≥0对x∈（0，2]恒成立，即a≤x+

b

x

-2恒成立，设g（x）=x+

b

x

-2，求出导函数利用b的取值范围讨论函数的增减性得到g（x）的最小值，a小于等于最小值，列出不等式求出a的取值范围．

解答：解：（1）当b=2a时，f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+2)x2+2ax+1，
所以f'（x）=x²-（a+2）x+2a=（x-2）（x-a）．令f'（x）=0，得x=2，或x=a．
①若a＜2，则当x∈（-∞，a）时，f'（x）＞0；当x∈（a，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，a）上单调递增，在（a，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．此时当x=a时，f（x）有极大值f(a)=-

1

6

a3+a2+1；当x=2时，f（x）有极小值f(2)=2a-

1

3

．
②若a=2，则f'（x）=（x-2）²≥0，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值．
③若a＞2，则当x∈（-∞，2）时，f'（x）＞0；当x∈（2，a）时，f'（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，2）上单调递增，在（2，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．此时当x=2时，f（x）有极大值f(2)=2a-

1

3

；当x=a时，f（x）有极小值f(a)=-

1

6

a3+a2+1．
（2）解：因为函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，所以f'（x）=x²-（a+2）x+b≥0对x∈（0，2]恒成立，
即a≤x+

b

x

-2对x∈（0，2]恒成立，所以a≤(x+

b

x

-2)min，x∈(0，2]．
设g(x)=x+

b

x

-2，x∈(0，2]，则g′(x)=1-

b

x2

=

(x+ b )(x- b )

x2

（b＞0），
①若0＜

b

＜2，即0＜b＜4，则当x∈(0，

b

)时，g'（x）＜0；当x∈(

b

，2]时，f'（x）＞0．
所以g（x）在(0，

b

)上单调递减，在(

b

，2]上单调递增．
所以当x=

b

时，g（x）有最小值g(

b

)=2

b

-2，所以当0＜b＜4时，a≤2

b

-2．
②若

b

≥2，即b≥4，则当x∈（0，2]时，g'（x）≤0，所以g（x）在（0，2]上单调递减，
所以当x=2时，g（x）有最小值g(2)=

b

2

，所以当b≥4时，a≤

b

2

．
综上所述，当0＜b＜4时，a≤2

b

-2；当b≥4时，a≤

b

2

．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性，以及会利用分类讨论的数学思想解决数学问题．