Question

已知等差数列{a_n}满足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

(n∈N*)，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项，建立方程，求出公差与公比，即可得到数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求出数列的和，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：设d、q分别为等差数列{a_n}、等比数列{b_n}的公差与公比，且d＞0
由a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3有b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d…（2分）
∵数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项
∴（2+d）²=2（4+2d），∴d²=4，
∵d＞0，∴d=2，∴q=

b2

b1

=

4

2

=2…（4分）
∴an=1+(n-1)×2=2n-1，bn=2×2n-1=2n…（6分）
（II）证明：Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

．②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

．…（8分）
∴Tn=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．…（10分）
∵

2n+3

2n

＞0．∴3-

2n+3

2n

＜3…（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．