Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值．
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据切线的斜率为1，得到f'（2）=1，解之得a=2；从而得到f（x）=

1

2

x²-2lnx，算出切点坐标为（2，2-2ln2），再代入直线y=x+b，即可求出实数b的值．
（2）根据题意，f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，由此得到关于x的不等式a≤x²在（1，+∞）上恒成立，再讨论x²的取值范围，即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-alnx，∴f'（x）=x-

a

x

，其中（x＞0）
∵f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b
∴f'（2）=2-

a

2

=1，解之得a=2，
由此可得函数表达式为f（x）=

1

2

x²-2lnx，得f（2）=2-2ln2
∴切点（2，2-2ln2）在直线y=x+b上，可得2-2ln2=2+b，解之得b=-2ln2
综上所述，a=2且b=-2ln2；
（2）∵f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴f'（x）≥0，即x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立
结合x为正数，可得a≤x²在（1，+∞）上恒成立
而在区间（1，+∞）上x²＞1，故a≤1
∴满足条件的实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题给出含有二次式和对数式的基本函数，求函数图象的切线并讨论不等式恒成立，着重考查了运用导数研究函数的单调性和导数的几何意义等知识，属于中档题．