Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x²-2x．
（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-m=0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数的表达式，直接代入即可求f（0）及f（f（1））的值；
（Ⅱ）利用偶函数的性质即可，求函数f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵当x≥0时，f（x）=x²-2x．
∴f（0）=0，f（1）=1-2=-1，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（f（1））=f（-1）=f（1）=-1．
（Ⅱ）设x＜0，则-x＞0，
则当x≥0时，f（x）=x²-2x．
∴f（-x）=x²+2x．
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=x²+2x=f（x），
∴f（x）=x²+2x，x＜0．
即函数数f（x）在（-∞，0）上的解析式f（x）=x²+2x；
（Ⅲ）由f（x）-m=0得f（x）=m，
作出函数f（x）的图象如图：
要使f（x）-m=0有四个不同的实数解，
则-1＜m≤0，
求实数m的取值范围是-1＜m≤0．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合考查函数的性质．