Question

已知函数,

(1)    设（其中是的导函数）,求的最大值；

(2)    证明: 当时，求证：  _；

设,当时,不等式恒成立,求的最大值．

Answer 1

解:（1）,

所以 ．--------------------------------------------1f

当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．------------------2f

因此，当时，取得最大值；------------------------------3f

（2）当时，．--------------------------------------4f

由（1）知：当时，，即．---------------------5f

因此，有．------------------6f

（3）不等式化为

所以对任意恒成立．------------------------------------------------7f

令，则，--------------------------------------8f

令，-----------------------------------------------------------------9f

则，

所以函数在上单调递增．------------------------------------------------------10f

因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．--------------11f

当，即，当，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．------12f

所以．13f

所以．

故整数的最大值是．----------------------------------------------------------------------------14f