Question

已知函数在是增函数,在为减函数.

（I）求、的表达式；

（II）求证:当时,方程有唯一解；

(III）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.

Answer 1

解：（I） 

依题意在上恒成立

即 在上恒成立

∵　 （）     ∴          ①    　　    

又

依题意在时恒成立, 即,恒成立

∵　（）　　 ∴　       　  ②       　    

由①、②得　　          

∴　.            

（II）由(1)可知,方程,

设, 

令,并由得  解得

令由   　   

列表分析:

	-		+
	递减		递增

知在处有一个最小值0　       

当时,＞0

∴　在(0,+¥)上只有一个解

即当x＞0时,方程有唯一解.　　     

（III）设  则                     

∴　在上为减函数           

∴　   又    

所以　为所求范围.