Question

已知函数f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3
（1）指出f（x）的最小正周期，并用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（2）求f（x）在[0，4π]上的单调区间；并求出f（x）在[0，4π]上最大值及其对应x的取值集合；
（3）说明此函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象经怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）利用周期公式可求周期，利用五点法，可得函数的图象；
（2）利用函数的图象，可得f（x）在[0，4π]上的单调区间，f（x）在[0，4π]上最大值及其对应x的取值集合；
（3）利用三角函数图象变换规律，可得结论．

解答：解：（1）f（x）的最小正周期为周期T=4π；…（1分）；
列表如下

x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
x 2 + π 6	0	π 2	π	3 2 π	2π
y	3	6	3	0	3

…（3分）；

…（5分）；
（2）增区间为[0，

2π

3

]和[

8π

3

，4π]；减区间为[

2π

3

，

8π

3

]；f（x）在[0，4π]上的最大值为6，此时x的取值集合为{

2π

3

}；…（8分）；
（3）①由y=sinx的图象上各点向左平移?=

π

6

个长度单位，得y=sin(x+

π

6

)的图象；
②由y=sin(x+

π

6

)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sin(

x

2

+

π

6

)的图象；
③由y=sin(

x

2

+

π

6

)的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），得y=3sin(

x

2

+

π

6

)的图象；
④由y=3sin(

x

2

+

π

6

)的图象上各点向上平移3个长度单位，得y=3sin(

x

2

+

π

6

)+3的图象．…（12分）．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．