题目内容
5．已知1＜a＜b，x=$\sqrt{lo{g}_{2}a•lo{g}_{2}b}$，y=$\frac{1}{2}$（log2a+log2b），z=log2$\frac{a+b}{2}$，则（ ）| A． | z＜x＜y | B． | x＜y＜z | C． | y＜x＜z | D． | x＜z＜y |
分析 由基本不等式可知$\sqrt{lo{g}_{2}a•lo{g}_{2}b}$＜$\frac{1}{2}$（log2a+log2b），$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$；再由对数函数的单调性判断即可．
解答 解：∵1＜a＜b，
∴0＜log2a＜log2b；
∴$\sqrt{lo{g}_{2}a•lo{g}_{2}b}$＜$\frac{1}{2}$（log2a+log2b）；
再由y=$\frac{1}{2}$（log2a+log2b）=log2$\sqrt{ab}$，z=log2$\frac{a+b}{2}$，
及$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$知，
log2$\sqrt{ab}$＜log2$\frac{a+b}{2}$，
故x＜y＜z，
故选：B．
点评 本题考查了基本不等式的应用及对数函数单调性的应用，属于基础题．
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| A． | x1f（x1）＞x2f（x2） | B． | x1f（x1）＜x2f（x2） | C． | x1f（x2）＞x2f（x1） | D． | x1f（x2）＞＜x2f（x1） |