Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
（I）求F（x）的最小正周期及单调区间；
（Ⅱ）求函数F（x）在[-

π

8

，

π

4

]上的值域；
（Ⅲ）若f（x）=2f′（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

分析：（I）求导函数，确定F（x）的解析式，即可求F（x）的最小正周期及单调区间；
（Ⅱ）由x∈[-

π

8

，

π

4

]，可得2x+

π

4

∈[0，

3π

4

]，从而可求函数F（x）在[-

π

8

，

π

4

]上的值域；
（Ⅲ）由f（x）=2f′（x），可得tanx=

1

3

，利用二倍角公式，弦化切，即可求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

解答：解：（I）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin（2x+

π

4

），
∴最小正周期为T=

2π

2

=π．
由2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，可得单调递增区间：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，
由2x+

π

4

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得单调递减区间：[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

8

，

π

4

]，
∴2x+

π

4

∈[0，

3π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[0，1]，
∴函数F（x）的值域为[1，1+

2

]，
（III）∵f（x）=2f′（x），
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，∴tanx=

1

3

，
∴

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

2tan2x+1

1-tanx

=

2• 2tanx 1-tan2x +1

1-tanx

=

11

6

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．