Question

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

2a2

x2

（a＞0）
（Ⅰ）若设F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数H(x)=f(x)+

2g(x)

图象上任意点处的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数p(x)=

1

3

x3+x2+m-

2

3

的图象与q(x)=

3

2

f(x2)的图象恰好有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由F'（x）＞0，可求得F（x）的单调递增区间；
（II）由于H（x）=lnx+

2a

x

，H′（x）=

1

x

-

2a

x2

≤1(x＞0)，可求得2a≥-x²+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

，于是可求得a的取值范围．
（Ⅲ）依题意，m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三个不同的根，构造函数G（x）=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

，通过求导数，求得G（x）的极大值G（1）的值，即可得到m的范围．

解答：解：（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

2a2

x2

（x＞0），F′（x）=

1

x

-

4a2

x3

=

x2-4a2

x3

(x＞0)
∵a＞0，由F'（x）＞0，得x＞2a，
∴F（x）的单调递增区间为（2a，+∞）．-----------------------（3分）
（II）H（x）=f（x）+

2g(x)

=lnx+

2a

x

，H′（x）=

1

x

-

2a

x2

≤1(x＞0)，----------------------（5分）
∵2a≥-x²+x，又x²-x≤

1

4

，2a≥-

1

4

，a≥

1

8

．
所以实数a的最小值为

1

8

．--------------------------（8分）
（III） 若p（x）=

1

3

x3+x2+m-

2

3

的图象与q（x）=

3

2

f(x2)=

3

2

lnx2的图象恰有三个不同交点，
即

1

3

x3+x2+m-

2

3

=

3

2

lnx2有三个不同的根，
亦即m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三个不同的根．---------------------（10分）
令G（x）=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

，
则G′（x）=

3

x

-x²-2x=

-(x-1)(x2+3x+3)

x

．
当x＜0时G'（x）＜0，所以G（x）单调递减，且当x→0时，G（x）→-∞，当x→-∞时，G（x）→+∞
当0＜x＜1时G'（x）＞0；
∴G（x）单调递增，且当x→0时，G（x）→-∞，
当x＞1时，G'（x）＜0；
∴G（x）单调递减，
∴当x=1时，G（x）的极大值G（1）=-

2

3

．
所以，当 m＜-

2

3

时，方程m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三个不同的解．--------------（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，突出考查构造函数与转化的数学思想及综合分析与运算的能力，属于难题．