题目内容
设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=
(an-1+2an-2)(n=3,4,…).数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)记cn=nanbn(n=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn.
解:(1)由an=
(an-1-an-2)，
有an-an-1=
(an-1-an-2)(n=3,4…,).
可得an-an-1=
(an-1-an-2)=
[
(an-2-an-3)]
=(
)2(an-2-an-3)
=……
=(
)n-2(a2-a1)=(
)n-2(n=3,4…,).
于是有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(
)n-2+(
)n-3+…+(
)0+1
=
+1=
[8-3·(
)n-1].
由题设b≠0，且对任意m∈Z+，有-1≤bm≤1
bm=1或bm=-1.
∵b1=1，由题设有-1≤b1+b2≤1
-2≤b2≤0，
∴b2=-1.
同理，由题设有-1≤b2+b3≤1
0≤b3≤2，
∴b3=1.
下面用反证法证明bn=（-1）n-1，
由题设可知|bn|=1，-1≤bm+…+bm=k≤1
假设{bn}存在相邻两项bm，bm=1的符号相同，
则有|bm+bm=1|=2|bm|=2，这与-1≤bm+…+bm=k≤1矛盾！
故{bn}的任意相邻两项bm，bm=1的符号都相反.
故bn=（-1）n-1
(2)若cn=nanbn，则cn=nanbn=
[8n(-1)n-1-3n(
)n-1]
=
n(-1)n-1-
n(
)n-1
设dn=
n(-1)n-1=
nq1n-1，en=
n(
)n-1=
nq2n-1.
对于数列{nqn-1}(q≠1)，其前n项和Tn=1+2q+3q2+…+nqn-1，
Tn-qTn=1+q+…+qn-1-nqn=
-nqn
Tn=
(
-nqn).
所以{dn}前n项和为Dn=
[
-n(-1)n]
=
[1-(2n+1)(-1)n]，
{en}前n项和为En=
[
-n(
)n]
=
[3-(n+3)(
)n]，
故{cn}前n项和为Sn=
[1-(2n+1)(-1)n]-
[3-(n+3)(
)n]
=
[9(n+3)(
)n+2(2n+1)(-1)n+1-25].
浙江名校名师金卷系列答案
全优冲刺100分系列答案| π |
| 2 |
| 1 |
| 2an |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|