Question

如图把函数f1(x)=x，f2(x)=x-

x3

6

，f3(x)=x-

x3

6

+

x5

120

，f4(x)=x-

x3

6

+

x5

120

-

x7

5040

，f5(x)=x-

x3

6

+

x5

120

-

x7

5040

+

x9

362880

，依次称为f（x）=sinx在[0，π]上的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数．以此类推，请将f（x）=sinx的n项多项式逼近函数f_n（x）在横线上补充完整：fn(x)=

2n-1

k=1

 （

sin(

kπ

2

)

xk

k!

） （n，k∈N₊）．

Answer 1

分析：由函数f（x）=sinx的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数，分析各项中符号，分子，分母的变化规律，归纳推理后可得f（x）=sinx的n项多项式逼近函数f_n（x）的解析式

解答：解：由函数f（x）=sinx的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数
f₁（x）=x
f2(x)=x-

x3

6

f3(x)=x-

x3

6

+

x5

120

f4(x)=x-

x3

6

+

x5

120

-

x7

5040

f5(x)=x-

x3

6

+

x5

120

-

x7

5040

+

x9

362880

，
…
可得函数的解析式中共有2n-1项，其中各项符号由sin(

kπ

2

)确定；
分子为x^k，分母为k!（k的阶乘）
故可归纳推理为：fn(x)=

2n-1

k=1

 sin(

kπ

2

)

xk

k!

故答案为：sin(

kπ

2

)

xk

k!

（答案不唯一，也可为cos(

(k-1)π

2

)

xk

k!

，

(ik-1+(-i)k-1)

2

xk

k!

（i为虚数单位）等）

点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据函数f（x）=sinx的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数，分析各项中符号，分子，分母的变化规律是解答的关键．