Question

已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）试判断的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；

Answer 1

解：（Ⅰ）双曲线的左右焦点为

即的坐标分别为.   

所以设椭圆的标准方程为,则,

且,所以,从而,   

所以椭圆的标准方程为.  

(Ⅱ)设则，即 

. 

所以的值与点的位置无关，恒为。 

（Ⅲ）由圆：得，

其圆心为，半径为， 

由（Ⅱ）知当时，，

故直线的方程为即，

所以圆心为到直线的距离为，

又由已知圆：被直线截得弦长为及垂径定理得

圆心到直线的距离，

所以， 即，解得或。

所以实数的值为或.