Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足Sn=2an-3n(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令bn=

9×2n

an•an+1

(n∈N*)，且数列{b_n}的前n项和为T_n满足Tn≥

62

63

，求n的最小值；
（Ⅲ）若正整数m、r、k成等差数列，且m＜r＜k，试探究：a_m，a_r，a_k能否成等比数列？证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用Sn=2an-3n(n∈N*)，再写一式，两式相减，可得数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列，由此即可求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）写出数列{b_n}的通项，求出数列{b_n}的前n项和为T_n，利用Tn≥

62

63

，即可求得n的最小值；
（Ⅲ）利用an=3×2n-3，a_m，a_r，a_k成等比数列，建立等式，从而可得2^k-m+1=2×2^r-m，根据2^k-m+1为奇数，2×2^r-m为偶数，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵S₁=2a₁-3，∴a₁=3，…（1分）
由

Sn+1=2an+1-3(n+1) Sn=2an-3n

，可得a_n+1=2a_n+3，…（2分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3），又a₁+3=6≠0，…（3分）
∴数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列，
∴an+3=6×2n-1，
即an=3×2n-3(n∈N*)；…（4分）
（Ⅱ）∵an=3×2n-3，
∴bn=

9×2n

an•an+1

=

2n

(2n-1)•(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，…（5分）
∴Tn=(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=

1

2-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

，…（6分）
∴Tn≥

62

63

等价于1-

1

2n+1-1

≥

62

63

∴2ⁿ⁺¹≥64
∴n≥5，…（7分）
即n的最小值为5；    …（8分）
（Ⅲ）∵an=3×2n-3，a_m，a_r，a_k成等比数列，
∴amak=

a

2 r

，∴（2^m-1）•（2^k-1）=（2^r-1）²
∴2^m+k-2^k-2^m=2^2r-2×2^r
由已知条件：正整数m、r、k成等差数列得m+k=2r，∴2^m+k=2^2r，
∵2^m+k-2^k-2^m=2^2r-2×2^r
∴2^m+2^k=2×2^r，…（10分）
∴上式可化为2^k-m+1=2×2^r-m，
∵m＜r＜k，m、r、k∈N^*
∴k-m，r-m∈N^*，∴2^k-m、2^r-m∈N^*，
∴2^k-m+1为奇数，2×2^r-m为偶数，因此2^k-m+1=2×2^r-m不可能成立，
∴a_m，a_r，a_k不可能成等比数列． …（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查裂项法求数列的和，考查等比数列的性质，看下学生分析解决问题的能力，综合性强．