Question

函数f（x）=ax³+bx在点（1，f（1））的切线为方程为3x-3y-2=0．
（1）求a，b的值；
（2）定义：对于连续函数f（x）和g（x），函数|f（x）-g（x）|在闭区间[a，b]上的最大值称为f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”，记为

△

a→ b

（f（x），g（x））．若g(x)=

1

2

x2+2x-m，且

△

-2→ 3

（f（x），g（x））=

10

3

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）（1）求导函数，根据函数f（x）=ax³+bx在点（1，f（1））的切线为方程为3x-3y-2=0，即可求得a，b的值；
（2）本题已知绝对值差是

10

3

，故要利用导数求出F（x）=f（x）-g（x）的最大值与最小值，由于不知那一个的绝对值最大，故可以讨论建立方程，求出参数的值即可．

解答：解：（1）求导函数f′（x）=3ax²+b
∵函数f（x）=ax³+bx在点（1，f（1））的切线为方程为3x-3y-2=0．
∴3a+b=1，a+b=

1

3

∴a=

1

3

，b=0；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x³-

1

2

x2-2x+m
∴F'（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
∴函数F（x）闭区间[-2，-1]上是增函数，[-1，2]上是减函数，[2，3]是增函数
∵F（-2）=-

2

3

+m，F（-1）=

7

6

+m，F（2）=-

10

3

+m，F（3）=-

3

2

+m
∵

△

-2→ 3

（f（x），g（x））=

10

3

，
∴|

7

6

+m|=

10

3

（m＞0）或|-

10

3

+m|=

10

3

（m＜0）
∴m=

13

6

点评：本题考点是利用导数研究函数的最值，考查导数的几何意义，考查新定义，出题方式新颖，考查了对新定义的理解能力与利用导数求最值的能力．