Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，M、N分别是AB、CC₁的中点，三角形MB₁P的顶点P在棱C₁B₁上运动，给出下列结论：
①异面直线B₁M与DC所成的角为π-arctan2；
②平面MB₁P⊥平面ND₁A；
③点A₁到平面MB₁P的距离等于

4 5

5

④三角形MB₁P在平面ABCD内的射影面积为定值．
其中正确的有

 

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：异面直线B₁M与DC所成的角为∠B₁MB，由tan∠B₁MB=

B1B

MB

=2，知异面直线B₁M与DC所成的角为arctan2；平面MB₁P⊥平面ND₁A不成立；连接A₁M，作A₁E⊥B₁M，交BM于E，由A₁E⊥B₁M，A₁E⊥B₁P，B₁M∩B₁P=B₁，故点A₁到平面MB₁P的距离等于线段A₁E．由S△MB1P=

1

2

×2×2=

1

2

×

5

×A1E，解得A1E=

4

5

=

4 5

5

；三角形MB₁P在平面ABCD内的射影面积不为定值．

解答：解：异面直线B₁M与DC所成的角为∠B₁MB，
∵tan∠B₁MB=

B1B

MB

=2，
∴异面直线B₁M与DC所成的角为arctan2，故①不正确；
平面MB₁P⊥平面ND₁A不成立，故②不正确；
连接A₁M，作A₁E⊥B₁M，交BM于E，
∵A₁E⊥B₁M，A₁E⊥B₁P，B₁M∩B₁P=B₁，
∴A₁E⊥平面MB₁P，∴点A₁到平面MB₁P的距离等于线段A₁E．
∵AB=2，M是AB中点，
∴A1M=B1M=

5

，
S△MB1P=

1

2

×2×2=

1

2

×

5

×A1E，
解得A1E=

4

5

=

4 5

5

，故③正确；
三角形MB₁P在平面ABCD内的射影面积不为定值，故④不正确．
故答案为：③．

点评：本题考查命题的真假判断，具体涉及到异面直线所成的角、平面与平面垂直、点到直线的距离、射影面积等基本知识点，解题时要认真审题，注意空间想象力的培养．