Question

正方体中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E＝λEO.

（1）若λ=1，求异面直线DE与CD₁所成角的余弦值；

（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值.

Answer 1

【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1，0，0)，，，D₁(0，0，1)，

E，

于是，.

由cos＝＝.[来源:Zxxk.Com]

所以异面直线AE与CD₁所成角的余弦值为.              ……………………5分

（2）设平面CD₁O的向量为m=(x₁，y₁，z₁)，由m·＝0，m·＝0

得  取x₁＝1，得y₁＝z₁＝1，即m=(1，1，1) .    ………………7分

由D₁E＝λEO，则E，=.[来源:学科网ZXXK]

又设平面CDE的法向量为n＝(x₂，y₂，z₂)，由n·＝0，n·＝0.

得  取x₂=2，得z₂＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .

因为平面CDE⊥平面CD₁F，所以m·n＝0，得λ＝2．          …………………10分