题目内容

已知P（2，0），点Q（x，y）满足 $数学公式$ ，目标函数z=2x-y的最小值、最大值分别为a，b，则 $数学公式$ （O为原点）的取值落在区间[a，b]上的概率为________．

$\text{[math]}$
分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值即可得到区间[a，b]；再结合 $\text{[math]}$ （O为原点）求出其所在的区间，最后利用几何概型的计算公式求解即得．
解答：

解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由z=2x-y可得y=x-z，则-z表示目标函数直线在y轴上的截距
截距越大，则z越小，截距越小，z越大
作直线L：y=2x，然后把直线向可行域平移
由 $\text{[math]}$ 可得B（2，2），此时Z=2；
由 $\text{[math]}$ 可得A（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），此时Z=2
易知最小值和最大值分别在点（ $\text{[math]}$ ）和（2，2）取得，[a，b]=[-2，2]，
又 $\text{[math]}$ （O为原点）表示 $\text{[math]}$ 在x轴上射影的长度，故 $\text{[math]}$ ，
故概率为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：考查向量投影（或过两点的斜率公式）、几何概型，考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于中档试题．

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