Question

已知函数f（x）=ax²-lnx（a∈R），
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；
（2）确定函数的定义域，求导函数．利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数的单调区间，进而得到函数的极值．

解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）…（1分）
（1）当a=2时　　　f（x）=2x²-lnxf′(x)=4x-

1

x

…（3分）
∴f（1）=2，f'（1）=3
∴曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-2=3（x-1）
即3x-y-1=0…（6分）
（2）f′(x)=

2ax2-1

x

，x＞0…（7分）
①当a≤0时，f'（x）＜0，
则函数f（x）为（0，+∞）上的减函数，∴f（x）无极值…（9分）
②当a＞0时，由f'（x）=0解得x=

1 2a

又当x∈(0，

1 2a

)时，f'（x）＜0
当x∈(

1 2a

，+∞)时，f'（x）＞0…（11分）
∴f（x）在x=

1 2a

处取得极小值，且极小值为f(

1 2a

)=

1

2

+

1

2

ln2a…（12分）
综上，当a≤0时，f（x）无极值
当a＞0时，f（x）在x=

1 2a

处取得极小值

1

2

+

1

2

ln2a，无极大值…（13分）

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．