题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并分别写出a_n和S_n关于n的表达式；
（Ⅱ）求 $数学公式$ ；
（Ⅲ）是否存在自然数n，使得 $数学公式$ ？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），（2分）
得a_n-a_n-1=4（n=2，3，4，）．（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，4为公差的等差数列．（4分）
∴a_n=4n-3．（5分） $\text{[math]}$ ．（6分）
（Ⅱ） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （8分）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（10分）
（Ⅲ）由S_n=2n²-n得： $\text{[math]}$ ，（11分）
∴ $\text{[math]}$ ．（13分）
令n²=400，得n=20，所以，存在满足条件的自然数n=20．（14分）
分析：（Ⅰ）由题意知a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），从而得到a_n-a_n-1=4（n=2，3，4，）．由此可知a_n=4n-3．所以 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由题设知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；计算可得答案．
（Ⅲ）由题设条件知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．由此可知存在满足条件的自然数n=20．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．