Question

14．已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）在R上满足 f（-x）=-f（x），当x=1时f（x）取得极值-2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x）（x∈R）得d=0，求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，f（1）=-2，解得a=1，c=-3，求得f（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极大值；
（2）求出f（x）在[-1，1]的最大值M和最小值m，对任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m，即可得证．

解答 解：（1）由f（-x）=-f（x）（x∈R）得d=0，
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=ax²+c．
由题设f（1）=-2为f（x）的极值，必有f′（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+c=0\\ 3a+c=0\end{array}\right.$解得a=1，c=-3，
∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）
从而f′（1）=f′（-1）=0．
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，-1）上是增函数；
在x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）在（-1，1）上是减函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上是增函数．
∴f（-1）=2为极大值．
（2）证明：由（1）知，f（x）=x³-3x在[-1，1]上是减函数，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，
在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2．
对任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．