Question

（本小题满分12分）

       已知半圆，动圆与此半圆相切且与轴相切。

   （1）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形；

   （2）是否存在斜率为的直线，它与（1）中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A、B、C、D四点，且满足。若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）动圆圆心的轨迹方程为及

（2）这样的直线不存在

解析:

（1）设动圆圆心为，做轴交轴于N。 1分

       若两圆外切，，

       所以，

       化简得   3分

       若两圆内切，，

       所以，

       化简得   4分

       综上，动圆圆心的轨迹方程为

       及，

       其图象是两条抛物线位于轴上方的部分，作简图如图：   6分

（2）设直线存在其方程可设为，

       依题意，它与曲线交于A，D，

       与曲线交于B，C   7分

       由

       得及   9分

      

            10分

      

       即   11分

       解得，

       将代入方程

       得

       因为曲线中横坐标范围为（-∞，-2）∪（2，+∞），

       所以这样的直线不存在    12分