Question

（1）函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=lg（x+1）+x²，当x为实数时求f（x） 的表达式；
（2）若函数f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且对任意实数x都有f(x)-g(x)=(

1

2

)x，试比较f（1），g（0），g（-2）的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，要求x为实数时f（x） 的表达式，只须求出x≤0时的表达式，由奇函数的性质易得当x=0时，f（0）=0，f（-x）=-f（x），逐步转化即可求解．
（2）根据奇偶性的定义，将-x代入已知解析式，整理可得f（x）与g（x）的又一关系式，两者联立，解方程组，即可求得f（x）与g（x）的解析式，故f（1），g（0），g（-2）的值可求，进而比较其大小．

解答：解：（1）∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，
∴当x=0时，f（0）=0；
设x＜0，则-x＞0，且满足表达式f（x）=lg（x+1）+x²，
∴f（-x）=lg（-x+1）+（-x）²=lg（-x+1）+x²，
又∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=lg（-x+1）+x²，
即f（x）=-lg（-x+1）-x²，
故当x为实数时f（x）的表达式为f（x）=

lg(x+1)+x2，x＞0 0，x=0 -lg(-x+1)-x2，x＜0

．
（2）将-x代入f(x)-g(x)=(

1

2

)x①，得f（-x）-g（-x）=（

1

2

）^-x=2^x，
∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
∴f（x）+g（x）=2^x，②
①②联立，解得f（x）=

2x+( 1 2 )x

2

，g（x）=

2x-( 1 2 )x

2

，
∴f（1）=

5

4

，g（0）=0，g（-2）=-

15

8

，
故f（1）＞g（0）＞g（-2）．

点评：（1）利用函数的奇偶性求函数某一部分的表达式的步骤：（1）在哪个区间求解析式，x就设在那个区间里；（2）利用已知区间的解析式进行代入；（3）利用f（x）的奇偶性把f（-x）写成-f（x）或f（x），从而解出f（x）．
（2）解决本题的关键是灵活应用函数奇偶性的定义，将-x代入原式进行化简，运用了转化思想和方程思想，考查了学生运算能力和逻辑推理能力．