Question

正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=(an+1)2
①试求数列{a_n}的通项公式．
②设bn=

1

an•an+1

，{b_n}前n项和S_n，求证：Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：①依题意，可求得a₁=1；当n≥2时，易求a_n-a_n-1=2，从而知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，继而可求其通项；
②利用裂项法可求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），从而可求其前n项和．

解答：解：①∵4S_n=(an+1)2，（1）
∴4a₁=(a1+1)2，即得a₁=1；
当n≥2时，4S_n-1=(an-1+1)2，（2）
（1）-（2）得：4a_n=an2+2a_n-an-12-2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），又a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
②证明：∵b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

＜

1

2

（证毕）．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的判定与其通项公式的应用，考查裂项法求和，属于中档题．