题目内容
自然状态下的鱼类是一种可再生的资源.为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1＞0.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a、b、c.(1)求xn+1与xn的关系式.
(2)猜测:当且仅当x1、a、b、c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)
(3)设a=2,c=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn＞0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.
解：(1)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为cxn2,因此xn+1-xn=axn-bxn-cxn2,n∈N*, (*)
即xn+1=xn(a-b+1-cxn),n∈N*. (**)
(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1,n∈N*.
从而由(*)式得xn(a-b-cxn)恒等于0,n∈N*.所以a-b-cx1=0,即x1=
.
因为x1＞0,所以a＞b.
猜测:当且仅当a＞b,且x1=
时,每年年初鱼群的总量保持不变.
(3)若b的值使得xn＞0,n∈N*,
由xn+1=xn(3-b-xn),n∈N*,
知0＜xn＜3-b,n∈N*.
特别地,有0＜x1＜3-b,即0＜b＜3-x1.
而x1∈(0,2),所以b∈(0,1].
由此猜测b的最大允许值是1.
证明如下:当x1∈(0,2),b=1时,都有xn∈(0,2),n∈N*.
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0,2),
则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk)＞0.
又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1＜2,
所以xk+1∈(0,2).
故当n=k+1时结论也成立.
由①②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).
综上所述,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn＞0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.
