Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

1

2

x2+t(t为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则t的值为______．

Answer 1

f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，故直线l的斜率为1，
切点为（1，f（1）），即（1，0），
∴直线l：y=x-1 ①
又∵g′（x）=x，直线l：y=x-1与函数g（x）的图象都相切
∴令g′（x）=1，解得x=1，即切点为（1，

1

2

+t）
∴l：y-（

1

2

+t）=x-1，即y=x-

1

2

+t ②
比较①和②的系数得-

1

2

+t=-1，∴t=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．