Question

【题目】如图，三棱柱中， ， ， 分别为棱的中点.

（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.

（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）证线面平行则需在面内找一线与之平行即可平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.（2）根据图形分别以的方向为轴， 轴， 轴的正方向，然后写出的坐标，求出面得法向量m，根据即可求得结果.

试题解析：

（1）如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.

（2）连结，∵，∴为正三角形.

∵为的中点，∴，

又∵侧面侧面，且面面，

平面，∴平面，

在平面内过点作交于点，

分别以的方向为轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则， .

∵为的中点，∴点的坐标为，

∴.

∵，∴，∴，

设平面的法向量为，

由得，

令，得，所以平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为.