Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n之间满足关系，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），+…求证：T_n＜2．

Answer 1

解：（1）当n≥2时，，
∴a_n=3a_n-1．（3分）
又由得a₁=3．
∴数列{a_n}是首项a₁=3、公比为3的等比数列．∴a_n=3×3^n-1=3ⁿ（7分）
（2）∵f（x）=log₃x，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂++log₃a_n=log₃（a₁a₂a_n）
∴．（10分）
∴
∴T_n==．
∴T_n＜2．（14分）
分析：（1）由题意知，所以a_n=3a_n-1．由得a₁=3．所以a_n=3×3^n-1=3ⁿ．
（2）由题意知，T_n=．由此可知T_n＜2．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用和计算能力的培养．