题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知圓C：x2＋y2－6x＋8＝0的圆心为C，过点P(0，1)且斜率为k的直线与圆C交于不同两点A、B．

(Ⅰ)求k的取值范围；

(Ⅱ)是否存在常数k，使得向量

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：圆的方程为：(x－3)2＋y2＝1

　　∴圆心为C(3，0)

　　过点P(0，1)且斜率为k的直线方程为

　　Y＝kx＋1　　2分

　　代人原方程得：(1＋k2)x2－(2k－6)x＋9＝0　　①

　　直线与圆交于不同两点且A、B等价于

　　△＝(2k－6)2－4(2＋k2)×9＞0　　4分

　　解得：

　　即k的取值范围为　　6分

　　(Ⅱ)解：假设存在，设且A(x1，y1)，B(x2，y2)

　　则　　7分

　　由方程①得：　　②

　　又　　③　　8分

　　而

　　所以共线等价于　　10分

　　将②③代人上式，解得　　11分

　　由①知

　　放不存在这样的常数k　　12分


练习册系列答案
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在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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