Question

【题目】如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出 ；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．
因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．
因为EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD．
因为ED平面EOD
所以AB⊥ED．
（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且 EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以 ，平面ABE的一个法向量为 ．
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以 ，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 ．
（Ⅲ）解：存在点F，且 时，有EC∥平面FBD
证明如下：由 ， ，所以 ．
设平面FBD的法向量为 =（a，b，c），则有
所以 取a=1，得 =（1，1，2）．
因为 =（1，1，﹣1）（1，1，2）=0，且EC平面FBD，所以EC∥平面FBD．
即点F满足 时，有EC∥平面FBD．

【解析】（Ⅰ）取AB中点O，连接EO，DO．利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；（Ⅱ）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为 ， ，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；（Ⅲ）存在点F，且 时，有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明 =0即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和向量语言表述线面的垂直、平行关系的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可;设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若才能正确解答此题．