题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=1-a_n（n∈N^）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）比较 $数学公式$ 的大小（n∈N^）；
（3）证明： $数学公式$ ．

解：（1）∵S_n=1-a_n，当n=1时，a₁=S₁=1-a₁，解得 $\text{[math]}$ ．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1即 $\text{[math]}$
∴数列{a_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，∴ $\text{[math]}$
（2）令 $\text{[math]}$ ，构造函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，所以f（x）的最大值是 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
（3）由（2）可知 $\text{[math]}$ 且“=”成立的条件是x=a_i，
所以： $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
所以： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）由S_n=1-a_n，解得 $\text{[math]}$ ．a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（2）令 $\text{[math]}$ ，构造函数 $\text{[math]}$ ，求导可知f（x）的最大值是 $\text{[math]}$ ，从而可以比较大小；
（3）由条件可知 $\text{[math]}$ 且“=”成立的条件是x=a_i，从而可证．
点评：本题考查等比数列的通项公式的求法和不等式的证明，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，属于难题