Question

某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00，8：20，8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为

1

4

，8：20发出的概率为

1

2

，8：40发出的概率为

1

4

；第二班客车在9：00，9：20，9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为

1

4

，9：20发出的概率为

1

2

，9：40发出的概率为

1

4

．两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到站．求：
（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；
（2）旅客候车时间的分布列；
（3）旅客候车时间的数学期望．

Answer 1

分析：（1）第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到其概率．
（2）由题意知候车时间X的可能取值是10，30，50，70，90，根据条件中所给的各个事件的概率，和两班客车发出时刻是相互独立的，得到各个变量对应的概率，写出分布列．
（3）根据上一问做出的分布列，代入求概率的公式，求出随机变量的期望值，得到旅客候车时间的数学期望．

解答：解：（1）∵在8：00发出的概率为

1

4

，8：20发出的概率为

1

2

，
第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，这两个事件是互斥的，
根据互斥事件的概率公式得到其概率为P=

1

2

+

1

4

=

3

4

．
（2）由题意知候车时间X的可能取值是10，30，50，70，90
根据条件中所给的各个事件的概率，得到
P（X=10）=

1

2

，P（X=30）=

1

4

，P（X=50）=

1

4

×

1

4

=

1

16

，
P（X=70）=

1

4

×

1

2

=

1

8

，P（X=90）=

1

16

，
∴旅客候车时间的分布列为：

候车时间X（分）	10	30	50	70	90
概率	1 2	1 4	1 16	1 8	1 16

（3）候车时间的数学期望为
10×

1

2

+30×

1

4

+50×

1

16

+70×

1

8

+90×

1

16

=5+

15

2

+

25

8

+

35

4

+

45

8

=30．
即这旅客候车时间的数学期望是30分钟．

点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列和期望值，考查相互独立事件同时发生的概率，本题是一个概率与统计的综合题目，是一个可以出现在高考卷中的题目．