Question

已知函数f(x)=cos(x-

2π

3

)-cosx(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)=-

3

2

，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(x)=cos(x-

2π

3

)-cosx=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

sin(x-

π

3

)．
∴函数f（x）的最小正周期为2π，
∵正弦函数的递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，即2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，
∴2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，
则函数f（x）的递增区间为[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]（k∈Z ）；（6分）
（Ⅱ）根据题意得：f(B)=

3

sin(B-

π

3

)=-

3

2

，
∴sin(B-

π

3

)=-

1

2

．
∵0＜B＜π，∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，
∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

．        …（9分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a2+3-2×a×

3

×

3

2

，即a²-3a+2=0，
故a=1或a=2．     …（12分）