Question

【题目】如图，在正三棱柱中，点， 分别是棱， 上的点，且．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】【试题分析】（1）先运用面面垂直的性质定理证明平面，再运用面面垂直的判定定理进行分析推证平面 平面；（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量的坐标形式的运算及空间向量的数量积公式求两个半平面的法向量，再运用向量的数量积公式进行求解：

（Ⅰ）证明：取线段的中点，取线段的中点，连接， ， ，则，

又，

∴是平行四边形，故．

∵，平面平面，平面平面 ，

∴平面，而，

∴平面，

∵平面，

∴平面 平面．

（Ⅱ）以、、为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ， ，

设平面的一个法向量，

则有即

令，则，

设平面的一个法向量，

则有即

令，则，

设二面角的平面角，

则．